哥德巴赫猜想

　　不管检验多大的数都会发现，大于4的偶数总能写成两个奇素数之和，大于7的奇数总能写成三个奇素数之和。例如：

　　　　　6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3
　　　　　10 = 5 + 5 , ………
　　　　　100 = 97 + 3 102 = 97 + 5 ………
　　　　　9 = 3 + 3 + 3, 11 = 5 + 3 + 3 ………
　　　　　99 = 89 + 7 + 3, 101 + 89 + 7 + 5 , ………
　　那么这两个结论是不是对一切这样的偶数和奇数都成立呢? 1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在给欧拉的信中第一次提出了上述问题。6月30日欧拉回信说：“任何大于4的偶数都是两个奇素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑，认为这是完全正确的定理。”由于欧拉是当时最伟大的数学家，他的信心吸引了许多数学家试图证明它们，但直到19世纪末都没有取得任何进展，这就是著名的哥德巴赫猜想。

　　解决这个问题的方法，是检验每个自然数，看哥德巴赫猜想是否对每一个数都成立。但困难在于自然数有无限多个，不管已经验证了多少个，也不能下结论说下一个数还是这样。实际上，有人对直到33000000000000的所有偶数都做了验证，仍不能解决这一问题。因此，一位著名数学家说：“哥德巴赫猜想的困难程度，可以和任何没有解决的数学问题相匹敌。也有人把哥德巴赫猜想比作数学王冠上的明珠。”

　　为了摘取这颗明珠，数学家们做了无数次的努力。1937年，苏联数学家证明了每个大奇数都可以表示为三个奇数之和，这个大奇数比10的400万次方(1后面跟上400万个0)还要大，而目前已知的最大素数比这小得多。但离结论还差得很远，而且它也没证明奇数能否表示成三个奇素数之和。因此，数学家采用分步走的办法，先证明一个类似于哥德巴赫猜想的问题，即先证明任何大于4的正整数，都能表示为c个素数之和(c是某个常数)。沿着这条路，数学家们先后证明了：

　　　　　c≤800000 (1930年)，
　　　　　c≤2208 (1935年)，
　　　　　c≤71 (1936年)，
　　　　　c≤67 (1937年)，
　　　　　c≤20 (1950年)，

　　1956年中国的尹文霖证明了c≤18。

　　用更复杂的数学工具，1937年苏联数学家证明对足够大的偶数，c≤4，哥德巴赫的问题相当于c=2。但由4到2的证明是相当困难的，显然这条路也并不完全畅通。

　　与此同时，数学家们还在试走另外一条路。即证明每个大偶数可以表示为：一个素因数的个数不超过 a 个的数与一个素因数的个数不超过 b 个的数之和。这一命题叫做(a+b)。这样，哥德巴赫猜想基本上就是要证明(1+1)是正确的。

　　1920年，挪威数学家布朗首先证明了(9+9)，此后这方面的工作不断取得进展。

　　1957年，我国数学家王元证明了(2+3)。

　　1962年，中国数学家潘承洞证明了(1+5)，同年又和王元合作证明了(1+4)。后来又有人证明了(1+3)。

　　1966年，中国数学家陈景润证明了(1+2)，并于1973年发表，立即轰动了国际数学界。一位英国数学家称陈景润移动了“群山”。

　　尽管由(1+2)到(1+1)只有一步之隔了，但这一步却有难以想象的艰难。有许多数学家认为，要想证明(1+1)，很可能必须创造新的方法，以往的路都是走不通的。





　

命题A：任何>6的偶数可以拆为两个（奇）素数之和。

命题B：任何>9的奇数可以拆为三个（奇）素数之和。

事实上如果命题A成立，那么命题B必然是成立的，故通常仅提出命题A。

这个举世闻名的猜想是1742年德国数学家哥德巴赫(Christian Goldbach, 1690-1764)在写给欧拉(Euler Léonard, 1707 -1783)的信中第一次提出的， Euler 1742年6月20日回信说他验算到100没有发现错误，但是不能给出一般性的证明。

从本世纪20年代，英国著名的数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)与李特伍德(Littlewood, 1885-1977)系统地开创与发展了堆垒素数论中的一个崭新方法——圆法（由于这个方法与一位印度数学家Ramanujan有关，故亦被称为Hardy-Littlewood-Ramanujan圆法）。由于圆法内容比较复杂，故不在此介绍了。

解决哥德巴赫猜想的另外一种方法是“筛法”，这是一种由古老方法演变而来的数学方法。在很早以前，人们知道一种得到素数的方法：在纸上由2开始顺次写下足够多个自然数，将其中2的倍数（当然不包括2，下同）都划掉，然后是3的倍数，5的倍数……如此往复，则可以得到该范围内所有的素数。筛法就是以这种方法为基础演化而来的。

利用Brun筛法：

1920 Brun 9+9

1924 拉德马哈尔 7+7

1932 爱斯斯尔曼 6+6

1937 Ricci 5+7 4+9 3+15 2+366

1938 布赫斯塔勃 5+5

1939 塔鲁塔柯夫斯基 4+4

1941 kuhn a+b<6

利用Selberg筛法：

1956 王元 3+4

1957 维诺格拉朵夫 3+3

1957 王元 2+3 a+b<5

1962 潘承洞 1+5

1962 王元 1+4 1+3

1962 潘承洞 1+4

1962 布赫斯塔勃 1+3

1966(1973) 陈景润 1+2

哥德巴赫猜想被称为“数学皇冠上的明珠”，无数数学家为了攻克这一难关进行了许多努力，甚至是为之奋斗终生。虽然哥德巴赫猜想现在尚未被解决；但是，在这250余年来的解题过程中却诞生了许许多多的数学方法，这为解决其他的数学问题提供了有力的帮助。从这个角度来看，哥德巴赫猜想的实际意义已经远远超过证明一个数学命题的本身了。