一、不等式和它的基本性质 1、不等式的概念： 现实世界中的同类量（如长度与长度、时间与时间）之间，有相等关系，也有不等关系。相等关系可以用等式来表示，不等关系怎样来表示呢？ 我们来看下面的式子： -7<-5； 3+4>1+5； 5+2≠11-5； x≠1； a+3>a+1； x+3<6 这些式子含有不等号“<”，“>”或“≠”,像上面用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 现在，我们来研究用小于号“<”和大于号“>”表示的不等式。 例1、用不等式表示： （1）x的2倍与3的差是负数； （2）x的相反数的2倍大于5； （3）a与b的差小于a与b的和的 ； （4）t的 与6和的 是非正数； （5）y与3的差的一半不小于y与2的和。 分析：列不等式的关键是把数量关系中的“大于”、“小于”、“是负数”，“是正数”等文字语言正确地用数学符号表示出来。也就是说把用文字语言表示的不等关系转化为用符号表示的不等式。 解：（1）2x-3<0； （2）-2x>5； （3）a-b< (a+b)； （4） ( t+6)≤0； （5） 2、不等式的解的概念：使不等式成立的末知数的取值叫不等式的解。如当x=2时，不等式x+3<6成立，则称x=2是x+3<6的一个解，当x=4时，不等式x+3<6不成立，则x=4不是x+3<6的解。一个不等式的解有无数个。 3、不等式的基本性质： 基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 例2、用“>”或“<”填号，并说明根据的是不等号的哪一条基本性质。 （1）若a-3<7，则a 10； （2）若- y<-1，则y ； （3）若 x<-3，则x -18； （4）若x+y>x，x-y>x，则xy 0。 解：（1）根据不等式的基本性质1，a<10； （2）根据不等式的基本性质3,y> ； （3）根据不等式的基本性质2，x<-18； （4）根据不等式的基本性质1，由x+y>y得x>0，由x-y>x得-y>0，再根据不等式的性质3，得y<0， ∴xy<0。 [说明]（1）根据题目给出的条件添加不等号“>”或“<”时，要认真观察它们是根据不等式的哪条基本性质，通过怎样的变形得到的； （2）在运用不等式的基本性质2、3将不等式变形时，必须十分注意所乘以（或除以）的数是正数还是负数，如果是负数，那么原不等式的不等号必须改变方向。这是我们在解题时很容易疏忽的地方。如有些同学会从a<1，得 ，即 >1，其实在a<1的条件下有如下三种情况： ①当01； ②当a=0时， 无意义； ③当a<0时，利用不等式的性质3，得 ，即 <1。 二、不等式的解集 1、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 2、解不等式：求不等式的解集的过程，叫解不等式。 3、不等式解集的表示方法：（1）用不等式表示； （2）用数轴表示，要注意空心点和实心点的使用。 例1、下列说法对不对，为什么？ （1）x=1是不等式2x<5的一个解； （2）因为x=2是不等式2x<5的一个解，所以不等式样2x<5的解集是x=2； （3）x<-2的负整数解有无数个； （4）小于4的每个数都是不等式x+3<8的解，所以这个不等式的解集是x<4. 分析：需判断以上问题，必须正确理解不等式的解和不等式的解集的含义及它们之间的联系及区别。不等式的解集是不等式所有解的集合，它包括两层含义：（1）解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；（2）使不等式成立的任何数值，都在解集内。只有同时满足以上两个方面，才能称为不等式的解集。 解：（1）正确。因为当x=1时，不等式2x<5成立。 （2）不正确。因为x=2虽然是不等式2x<5的一个解，但不是此不等式的全部解，不等式的解集为x<2 。 （3）正确。因为小于-2的负整数有无数个。 （4）不正确。因为小于4的数只是不等式x+3<8的解集的一部分，不是所有解，此不等式的解集为x<5。 例2、在数轴上表示下列不等式的解集。 （1）x<-1 ； （2）x≥-3； （3）-10或ax+b<0（a≠0）。 2、一元一次不等式的解法：和解一元一次方程相类似，解一元一次不等式通常有以下几个步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化成1。但不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，要注意改变不等号的方向。 例1、解下列不等式2-5x≤8-7x 解：移项，得-5x+7x≤8-2 合并同类项，得 2x≤6 系数化为1，得x≤3. 说明：（1）利用不等式的基本性质1将不等式变形和利用等式的基本性质将等式变形一样，可以概括为移项，移项时不要忘记变号； （2）把不等式变形成“axb”后，当a<0时，两边同除以a，不要忘记改变不等号的方向。 例2、解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： （1）2x-(3-x)<3； （2）2[5x+2(x-2)]≥x-3(3-x) 解：（1）去括号，得 2x-3+x<3 移项，得 2x+x<3+3 合并同类项，得 3x<6 系数化成1，得 x<2 （2）去括号，得 2[5x+2x-4]≥x-9+3x 10x+4x-8≥4x-9 移项，得 14x-4x≥8-9 合并同类项，得 10x≥-1 系数化成1，得 x≥- 说明：（1）去括号前面是负号时，去括号时不要忘记括号内的各项变号； （2）当有多重括号时，通常先去小括号，再去中括号，最后去大括号，在去掉一重括号后，能合并的要先合并。 例3、解不等式 解：去分母，得：2(3x-1)<12-(4-2x) 去括号，得：6x-2<12-4+2x 移项，得： 6x-2x<12-4+2 合并同类项，得：4x<10 系数化成1，得： x< . 说明：（1）去分母时，不要漏乘不含分母的项； （2）分数线“——”不仅表示除号，而且还有括号的作用，当分子是多项式时，去掉分母后，分子必须添加括号。 例4、解不等式 解：将原不等式变形为 即 去分母，得 2-10x-5<5(2+5x) 去括号，得 2-10x-5<10+25x 移项，得 -10x-25x<10+5-2 合并同类项，得 –35x<13 系数化成1，得 x>- 说明：当分子、分母含有小数时，可以根据分数的基本性质，将分子、分母同乘以一个适当的整数，使所含的小数化为整数。 例5、求不等式2[ x-( )]< x的最大整数解。 分析：要求此不等式的最大整数解，必须先求出此不等式的解集，再在其解集中找出最大整数。 解：去括号，得 x- x+1< x 去分母，得 32x-16x+12<9x 移项，得 32x-16x-9x<-12 合并同类项，得 7x<-12 系数化为1，得 x<- 所以，原不等式的最大整数解为x=-2。 【能力训练】 一、填空题 1、用不等号“>”或“<”填空：（1）(-1)2 ＞ (-1)3；（2） ＜ 。 2、用不等式表示： （1）-x是正数： -x＞ 0 ； （2）y的一半与3的和是非 ； （3）m与2的差的 小于3： ； （4）a的5倍不小于a与2的和： 。 3、用不等号“>”或“<”填空： （1）若5x>-3, 则x ； （2）若-5x<-1 则x ； （3）若 ，则a b； （4）若m+4>n+4，则m-5 n-5， ； 4、（1）不等式 的解集是 ； （2）不等式 的非负整数解为 ； （3）不等式 的正整数解为 ； （4）不等式 的最小整数解为 ； 5、若不等式 的解集为 ，则a的值为 。 6、已知代数式 的值是正数，则x的取值范围是 。 7、已知 ，若 ，则y的取值范围是 。 8、如图所表示的不等式的解集为： 。 二、选择题 1、若 ，则（ ） A、 B、 C、 D、 2、若不等式 ，则下列结论成立的是（ ） A、 B、 C、 D、a为一切有理数 3、若 ，则下列结论正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 4、若关于y的方程 的根是负数，则k的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 三、解下列不等式1、 2、 3、 4、 5、 6、 四、解不等式 ，并将其解集在数轴上表示出来。 【能力训练答案】 一、填空题 1、（1） （2） 2、（1） （2） （3） （4） 3、（1） （2） （3） （4） 4、（1） （2）0，1，2，3 （3）1，2，3 （4）-1 二、选择题 1、B 2、C 3、C 4、