同一个数学问题，所给的对象如不能进行统一的研究，那么就需要对其各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论。它是数学中一种重要的思想方法和解题策略，它体现了化整为零与积零为整的思想与归类整理的方法。 分类讨论的思想几乎涉及到中学数学内容的各个部分，渗透到各个章节。对学生的综合能力，逻辑划分能力，分析问题与解决问题能力都提出了较高的要求。但从笔者从事的高三数学复习工作中，学生忽视分类讨论或讨论中发生逻辑错误现象屡见不鲜。其重要原因是对数学知识的了解缺乏完整性和深刻性，不能明确讨论的动因，即认识为什么要分类讨论。下面结合一些实例，谈一谈笔者对分类讨论思想之我见。 1.在分类讨论中，要明确讨论的原因，寻求分类的依据，确定分类的标准，进行合理的分类。 分析：有许多数学概念本身就是按分类定义的。绝对值概 例1:解不等式│x-5│-│2x+3│<1 念就是如此，当a>0时│a│=a；当a<0时，│a│=-a，&127;为去掉绝对值符号，就要采取“零点分区间”法来分类讨论。 泙 3 解:1)当x<- -时，原不等式变为5-x+2x+3<1 洈 2 x<-7 3 2)当- -5时，原不等式变为x-5-2x-3<1 x>5 泙 1 原不等式解集为{x│x<-7或x>-} 洂 3 泙 a攩x攪-a攩-x攪 例2:已知a>0，a=1，b R，解方程───=b a攩x攪+a攩-x攪 洂 分析：有些运算有一定条件的限制，在解题中，要施行这些运算，并要突破相应的限制，就要分类讨论。本例中除法要求除式不为零；对数运算其真数应为正数都是分类的标准。 泙 a攩x攪-a攩-x攪 解:由───=b得(1-b)a攩2x攪=1+b 洂 a攩x攪+a攩-x攪 1)当b=1时，原方程无解； 泙 1+b 2)当b=1时，原方程同解于a攩2x攪= --- 洂 1-b 泙 1+b 1 1+b 若-10 x=-log攬a攭--- 洂 1-b 2 1-b 泙 1+b 若b>1或b<-1，则---<0 原方程无解。 洂 1-b 　 泙 1 1+b 综上所述，当且仅当-12 分析：有些数学性质，公式或定理在不同条件下，有不同的结论。解题时，若要应用这些性质，公式或定理，就需分类讨论。本问题涉及函数的单调性，因此必须考虑对数函数的增减性，对其底数取值范围进行分类讨论。在此讨论中，如果以主变量为讨论对象，则应将各类讨论中解得结果并在一起作为问题的结论。如果以参变量为讨论对象，则应用分类叙述的方法表示其结论。 泙 5x攩2攪-8x+3>0 3 解:1)当x>1时 x>- 洅 5x攩2攪-8x+3>x攩2攪 2 泙 5x攩2攪-8x+3>0 1 3 2)当0-或-0，记T攬n攭=S攬n攭+2n，W=──，求limW攬n攭。 泹 分析:本例中求S攬n攭时应用等比数列求和公式,需要对r进行一 泙级分类，然后根据limq攩n攪的存在性，对r进行二级分类,最后求得泹 n 泙limW攬n攭。 n 泙櫧 1 1 1 解:由已知S攬n攭=(r攩2攪+r攩4攪+......+r攩2n攪)+(- + - +......+ ---)-2n 櫨泹 r攩2攪 r攩4攪 r攩2n攪 1)当r=1时，S攬n攭=n+n-2n=0 T攬n攭=2n 泙 2n n W=──=--- limW攬n攭=1 泹 2n+2 n+1 n 泙 1 1 r攩2攪(1-r攩2n攪) ─(1- ---) r攩2攪 r攩2n攪 2)r=1时，Sn=──────── + ----------- -2n 1 1-r攩2攪 1- ─ 泹 r攩2攪 泙 r攩2攪(1-r攩2n攪)(1+r攩2n+2攪) =────────── -2n 泹 (1-r攩2攪)r攩2n攪 泙 (1-r攩2n攪)(1+r攩2n+2攪) T攬n攭=──────── 泹 (1-r攩2攪)r攩2n攪 泙 T攬n攭 r攩2攪(1-r攩2n攪)(1+r攩2n+2攪) W攬n攭=──=───────── 泹 T攬n+1攭 (1-r攩2n+2攪)(1+r攩2n+4攪) 泙 a)当01时，limW攬n攭=─ 泹 n r攩2攪 洅 3.在分类讨论中，要克服动辄加以讨论的思维定势，要充分挖掘问题的特殊性，多审视参数，简化讨论的过程，以提高分类讨论的效益，甚至避免分类讨论。 例5:已知三条抛物线Y=x攩2攪-x+m,Y=x攩2攪+2mx+4,Y=mx攩2攪+mx+m-1 中至少有一条与x轴相交，试求实物m的取值范围。 分析：本例中不要急于直接分类讨论，应认真审查题目的特点。若从反面进行思考，则可避免分类讨论。 解：从题设的反面:“三条抛物线均不与X轴相交”出发，泙 1-4m<0 则有 4m攩2攪-16<0 洅 m攩2攪-4m(m-1)<0且m=0 泙 4 4 解得-2 洅 3 3 以上所述是笔者对分类讨论思想的浅见，当问题中含有变化不定因素，且直接影响解题进程或影响完整结论的取得时，必须进行讨论。为了帮助学生掌握这些分类依据，在知识复习过程中要强调有关分类叙述的性质、公式的应用。对每一单元涉及分类讨论知识及时集中总结，形成完整的知识网络。 平时要加强讨论训练，在解决实际问题中体会，掌握分类标准。还需要有较强的分类意识，要善于挖掘问题中隐含的分类条件，需要思维的灵活性和慎密性，这些就需要在实践过程中培养和提高。